Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Pythagorean

Με εφαρμογή του πυθαγορείου θεωρήματος σε ορθογώνιο τρίγωνο που έχει μήκη καθέτων πλευρών ίσα με 1$,$ προκύπτει ως μήκος υποτείνουσας, αριθμός $p$, για τον οποίο ισχύει $p^2=2$. Ο εν λόγω αριθμός απεδείχθη άρρητος (ή ασύμμετρος). Η ανακάλυψη αποδίδεται στον μαθητή του Πυθαγόρα, Ίππασο τον Μεταποντινό και φέρεται να προκάλεσε τριγμό στην φιλοσοφική αντίληψη της αδελφότητας περί των αριθμών.

Λήμμα: Αν ο θετικός ακέραιος $m^2$ είναι άρτιος τότε ο αριθμός m είναι άρτιος.
Απόδειξη: Έστω $m$ περιττός, τότε $m=2k+1$ για κάποιον $k\in\mathbb{Z}$.
Είναι: $m^2=(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = \\ 2(2k^2+2k)+1 = 2u+1$ δηλαδή ο $m^2$ είναι περιττός. Άτοπο.

Θεώρημα: $\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}$
Απόδειξη: Έστω, αντίθετα, ότι είναι ρητός, δηλαδή $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ για κάποιους $p,q\in\mathbb{Z}^*$ με $(p,q)=1$.
Τότε: $\sqrt 2 = \frac{p}{q} \Rightarrow \frac{p^2}{q^2}=2 \Rightarrow p^2 = 2q^2$ (1) δηλαδή $p^2$ άρτιος και από λήμμα, $p$ άρτιος.
Έτσι, $p=2k$ για κάποιον $k\in\mathbb{Z}$ και η (1) γράφεται $4k^2 = 2q^2 \Rightarrow 2k^2 = q^2$ συνεπώς $q^2$ άρτιος και ξανά από λήμμα, $q$ άρτιος.
Οι αριθμοί $p,q$ είναι, λοιπόν, αμφότεροι άρτιοι, επομένως $(p,q) \geq 2$, συμπέρασμα που αντιφάσκει των υποθέσεων.
Συνεπώς ο αριθμός $\sqrt 2$ είναι άρρητος.

Απόδειξη #2

Ομοίως, υποθέτουμε ότι $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ (1) για κάποιους $p,q\in\mathbb{Z}^*$ με $(p,q)=1$.
Από την $(p,q)=1$ και την ταυτότητα Bezout, υπάρχουν $x,y\in\mathbb{Z}$ τέτοιοι ώστε $px + qy = 1 \Rightarrow \sqrt{2}px+\sqrt{2}qy = \sqrt{2}$ (2)
Από την (1), είναι $p = q\sqrt{2}$ και έτσι η (2) γράφεται: $2qx + py = \sqrt{2}$ που υποδεικνύει ότι ο αριθμός $\sqrt{2}$ είναι ακέραιος και έτσι οδηγούμαστε σε άτοπο.
Παρατήρηση:
Η υπόθεση ότι $(p,q)=1$ δεν βλάπτει τη γενικότητα διότι κάθε κλάσμα έχει ανάγωγο ισοδύναμο.