Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Στοιχειώδεις έννοιες της Άλγεβρας

Μέρος Α' - Τα αριθμητικά σύνολα

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$ Οι αριθμοί $1, 2, 3, 4, 5, ...$ και ούτω καθεξής, ονομάζονται φυσικοί αριθμοί και είναι οι πρώτοι με τους οποίους ήλθαμε σε επαφή στα χρόνια της σχολικής πορείας. Συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών με $\mathbb{N}$ και πρόκειται για συμβολισμό που επικράτησε απο το πρώτο γράμμα της αγγλικής λέξεως natural που σημαίνει φυσικός.$$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$$
Εν συνεχεία, το σύνολο αυτό επεκτάθηκε σε ένα σύνολο με νέα στοιχεία, τους λεγόμενους ακέραιους αριθμούς. Το νέο αυτό σύνολο ονομάζεται σύνολο των ακεραίων και περιλαμβάνει τους φυσικούς αριθμούς, το μηδέν καθώς και τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Συμβολίζεται με $\mathbb{Z}$ και αυτός ο συμβολισμός φαίνεται πως επικράτησε από τη γερμανική λέξη zahl που σημαίνει αριθμός.

$$\mathbb{Z}=\{..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\}$$
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων μιας και κάθε φυσικός αριθμός περιέχεται στο σύνολο $\mathbb{Z}$.
Συμβολικά γράφουμε $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$.

Ο εμπλουτισμός των αριθμητικών συνόλων, φυσικά δεν σταματά εδώ. Οι επιστημονικές ανάγκες αλλά και οι πρακτικές εφαρμογές οδηγούν στην ανάγκη μιας εκ νέου επέκτασης του συνόλου $\mathbb{Z}$ των ακεραίων αριθμών σε ένα αριθμητικό σύνολο με επιπλέον στοιχεία, συμπεριλαμβανομένων δηλαδή των ακεραίων αριθμών, το οποίο θα ονομάζουμε σύνολο των ρητών αριθμών.
Το σύνολο αυτό, περιλαμβάνει κάθε αριθμό ο οποίος έχει ή μπορεί να γραφτεί στη μορφή $\frac{p}{q}$ όπου οι $p, q$ είναι ακέραιοι αριθμοί και ο $q$ διάφορος του μηδενός. Κάθε τέτοιος αριθμός ονομάζεται ρητός. Για παράδειγμα, ο αριθμός $\frac{1}{2}$ είναι ένας ρητός αριθμός. Είναι προφανές ότι αυτός ο αριθμός δεν ανήκει ούτε στο σύνολο $\mathbb{N}$ ούτε στο $\mathbb{Z}$.
Κάθε ακέραιος αριθμός (άρα και κάθε φυσικός) μπορεί να γραφτεί στη μορφή $\frac{p}{q}$, όπου $p, q$ ακέραιοι και $q\neq 0$, συνεπώς κάθε ακέραιος είναι και ρητός.
Για παράδειγμα: $3 = \frac{3}{1}$, $0 = \frac{0}{1}$, $-5 = \frac{-5}{1}$, επομένως είναι ξεκάθαρο πως το νέο σύνολο, των ρητών αριθμών, περιλαμβάνει όλους τους ακέραιους αριθμούς, είναι δηλαδή μια επέκταση του συνόλου $\mathbb{Z}$.

Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με $\mathbb{Q}$, από την αγγλική λέξη quotient που σημαίνει πηλίκο.

Είναι, άραγε, το σύνολο $\mathbb{Q}$ των ρητών αριθμών, επαρκές για την περιγραφή όλων των φυσικών μεγεθών;
Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.Χ. - 496 π.Χ) πίστευε πως ναι, ότι δηλαδή όλα τα φυσικά και γεωμετρικά μεγέθη έχουν ως μέτρο κάποιον ρητό αριθμό και έτσι το σύνολο των ρητών αριθμών είναι ικανό να περιγράψει ολόκληρη τη φυσική πραγματικότητα.
Αυτό μάλιστα, ήταν ένα κεντρικό δόγμα για τη σχολή των Πυθαγορείων, το λεγόμενο Ομακοείον που ο σπουδαίος Έλληνας είχε δημιουργήσει στην περιοχή του Κρότωνα (νότια Ιταλία) o oποίος υπήρξε Ελληνική επαρχία από το 710 π.Χ. έως το 194 π.Χ. οπότε και μετετράπη σε Ρωμαϊκή αρχίζοντας να παρακμάζει.

Μια απλή εφαρμογή του περίφημου Πυθαγορείου θεωρήματος ήταν αρκετή για να οδηγήσει στην ανακάλυψη μιας νέας κατηγορίας αριθμών, πέραν εκείνης των ρητών και φυσικά να δώσει αρνητική απάντηση στο αρχικό ερώτημα περί της επάρκειας του συνόλου $\mathbb{Q}$.

Ας θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι δυο κάθετες πλευρές έχουν μήκος ίσο με 1 και ας συμβολίσουμε το μήκος της υποτείνουσας με το γράμμα $p$.

Το άθροισμα των τετραγώνων των δυο καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας


Σε μαθηματική γλώσσα προκύπτει: $p^2 = 1^2 + 1^2$, δηλαδή $\boxed{p^2 = 2}$. Η υποτείνουσα λοιπόν του εν λόγω τριγώνου, μας πληροφορεί το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχει μέτρο τέτοιο ώστε το τετράγωνό του να ισούται με 2.

Ποιός να είναι άραγε ο ρητός αριθμός που υψωμένος στο τετράγωνο ισούται με 2; Όσο και αν το επεξεργαστούμε, δεν θα καταλήξουμε πουθενά, καθώς τέτοιος ρητός αριθμός δεν υπάρχει. Στη συνέχεια, θα αποδείξουμε αυτό το γεγονός, ότι δηλαδή δεν υπάρχει ρητός αριθμός $p$ τέτοιος ώστε $p^2 = 2$.

H απόδειξη που θα ακολουθήσει, βασίζεται στη σπουδαία, αρχαιοελληνικής σύλληψης, μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Αρχικά χρησιμοποιήθηκε από τον Αριστοτέλη και έπειτα, εντόνως, από το σπουδαίο μαθηματικό Ευκλείδη, όπως διαπιστώνουμε και στην Ευκλείδεια Γεωμετρία της Α' και 'Β Λυκείου.

Υπενθυμίζουμε ότι οι θετικοί ακέραιοι 2, 4, 6, 8, 10, ... ονομάζονται άρτιοι και οι θετικοί ακέραιοι 1, 3, 5, 7, 9, ... ονομάζονται περιττοί. Ουσιαστικά, οι άρτιοι άριθμοί είναι όλα τα ακέραια πολλαπλάσια του 2 και περιττοί αριθμοί είναι οι υπόλοιποι φυσικοί αριθμοί.
Διαιρώντας έναν άρτιο με το 2, προκύπτει υπόλοιπο 0 και διαιρώντας έναν περιττό με το 2, προκύπτει υπόλοιπο 1. Έτσι, με βάση την Ευκλείδεια διαίρεση, οι άρτιοι αριθμοί γράφονται στη μορφή $2k$ και οι περιττοί στη μορφή $2k+1$ όπου $k$ ακέραιος (το πηλίκο) που μεταβάλλεται ανά περίπτωση. Λόγου χάρη, $8 = 2\cdot 4$ και $9 = 2\cdot 4+1$.

Θα αποδείξουμε αρχικά το παρακάτω θεώρημα, πολύ χρήσιμο για τη συνέχεια.

Θεώρημα Ι. Αν ο ακέραιος $m^2$ είναι άρτιος, τότε ο αριθμός $m$ είναι άρτιος.

Απόδειξη. Είναι δεδομένο πως ο $m^2$ είναι άρτιος αριθμός. Εν συνεχεία, υποθέτουμε ότι αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε, δεν είναι αληθές, έστω δηλαδή ότι ο αριθμός $m$ είναι περιττός. Τότε αυτός θα γράφεται στη μορφή $m = 2k+1$ όπου $k$ κάποιος θετικός ακέραιος. Υψώνοντάς τον στο τετράγωνο, έχουμε: $m^2 = (2k+1)^2 = (2k)^2 + 2\cdot 2k\cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$. H αλγεβρική παράσταση $4k^2 + 4k + 1$ μπορεί να γραφεί ως $2(2κ^2 + 2κ) + 1$ και εξ αυτού παρατηρούμε ότι έχει μορφή περιττού αριθμού. Έτσι προκύπτει αντίφαση, καθώς από την υπόθεση του παραπάνω θεωρήματος, ο $m^2$ είναι άρτιος. Καταλήξαμε σε αντίφαση διότι υποθέσαμε ότι ο $m$ είναι περιττός, συνεπώς δεν μπορεί παρά να είναι άρτιος.

Θεώρημα ΙΙ. Δεν υπάρχει ρητός αριθμός $p$ τέτοιος ώστε $p^2 = 2$.

Απόδειξη. Ομοίως, θα υποθέσουμε το αντίθετο, ότι δηλαδή υπάρχει ρητός $p$ τέτοιος ώστε $p^2 = 2$.

Έστω, λοιπόν $p = \frac{a}{b}$ ο εν λόγω ρητός. Θυμηθείτε πως ως ρητοί έχουν οριστεί εκείνοι που έχουν ή μπορούν να γραφτούν σε τέτοια (κλασματική) μορφή, με $b\neq 0$ και $a, b$ ακεραίους. Μπορούμε επίσης να υποθέσουμε ότι οι ακέραιοι $a, b$ δεν είναι αμφότεροι (και οι δυο) άρτιοι καθώς σε τέτοια περίπτωση, το κλάσμα $\frac{a}{b}$ απλοποιείται διαιρώντας αριθμητή και παρανομαστή με το 2. Για παράδειγμα $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Υπενθυμίζουμε από προγενέστερη διδακτέα ύλη, ότι κάθε κλάσμα διαθέτει ένα ισοδύναμο ανάγωγο, δηλαδή ένα κλάσμα με την ίδια αριθμητική αξία που δεν απλοποιείται. Εν προκειμένω, το κλάσμα $\frac{4}{6}$ δεν είναι ανάγωγο. Ωστόσο το ισοδύναμο αυτού (αντιπροσωπεύουν τον ίδιο αριθμό) $\frac{2}{3}$ είναι ανάγωγο. Έχουμε: $$p^2 = 2 \Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = 2 \Rightarrow a^2 = 2b^2$$ Παρατηρούμε από το τελευταίο βήμα πως ο $a^2$ είναι άρτιος, καθώς είναι το διπλάσιο κάποιου ακεραίου (εν προκειμένω του $b^2$). Άφού, λοιπόν, ο $a^2$ είναι άρτιος, από το Θεώρημα Ι προκύπτει ότι ο $a$ είναι άρτιος, επομένως γράφεται στη μορφή $a = 2k$ για κάποιον ακέραιο $k$. Αντικαθιστώντας στη σχέση $a^2 = 2b^2$ την $a = 2k$ προκύπτει $4k^2 = 2b^2$, δηλαδή $2k^2 = b^2$ (διαιρώντας με το 2). Παρατηρούμε τώρα ότι ο $b^2$ ισούται με το διπλάσιο του $k^2$ και έτσι ο $b^2$ είναι άρτιος. Ξανά, από το θεώρημα Ι προκύπτει ότι ο $b$ είναι άρτιος. Έχουμε λοιπόν καταλήξει στο συμπέρασμα ότι τόσο ο ακέραιος $a$, όσο και ο $b$ είναι άρτιοι, γεγονός που έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση πως οι δυο αριθμοί δεν είναι αμφότεροι άρτιοι. Καταλήξαμε σε αντίφαση διότι υποθέσαμε πως υπάρχει ρητός αριθμός που το τετράγωνό του ισούται με 2. Έτσι, αποδεικνύεται πως η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους 1, έχει μήκος που δεν είναι ρητός αριθμός. Ο εν λόγω αριθμός ονομάστηκε άρρητος (ή ασύμμετρος) και συμβολίζεται με $\sqrt{2}$.

O αριθμός $\sqrt{2}$ είναι ένας άρρητος αριθμός, όμως οι άρρητοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος. Λόγου χάρη, οι αριθμοί $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{10}$ και ούτω καθεξής, είναι άρρητοι. Καθεμιά εκ των τετραγωνικών ριζών, είναι άρρητος αριθμός όταν το υπόρριζο δεν είναι τέλειο τετράγωνο όπως οι προαναφερθείσες τετραγωνικές ρίζες. Παραδείγματος χάρη, ο αριθμός $\sqrt{4}$ είναι ρητός καθώς ισούται με $2 = \frac{2}{1}$. Υπενθυμίζουμε πως για να είναι ρητός ένας αριθμός $p$, θα πρέπει να υπάρχουν ακέραιοι $a, b$ με $b\neq 0$, τέτοιοι ώστε $p = \frac{a}{b}$.

Pythagorean

Με αφορμή την ιστορική ανακάλυψη άρρητου γεωμετρικού μήκους (το μήκος της παραπάνω υποτείνουσας) από τη σχολή του Πυθαγόρα (η ανακάλυψη αποδίδεται στο μαθητή του, τον Ίππασο), οδηγηθήκαμε στην επέκταση του συνόλου $\mathbb{Q}$ των ρητών αριθμών σε ένα νέο σύνολο που περιέχει όλους τους ρητούς και όλους τους άρρητους αριθμούς. Το σύνολο αυτό ονομάζεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με $\mathbb{R}$, από τη λέξη real που σημαίνει πραγματικός.

Έτσι, το σύνολο $\mathbb{N}$ (φυσικοί) είναι υποσύνολο του $\mathbb{Z}$ (ακέραιοι) το οποίο είναι υποσύνολο του $\mathbb{Q}$ (ρητοί) που με τη σειρά του είναι υποσύνολο του $\mathbb{R}$ (πραγματικοί). Συμβολικά: $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Ασκήσεις προς επίλυση


1. Να αποδείξετε ότι αν ο πραγματικός αριθμός $x$ είναι ρητός και ο $y$ άρρητος, τότε ο αριθμός $3y - 2x$ είναι άρρητος.

Υπόδειξη: Να εφαρμόσετε τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής.


2. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $x\neq -2$ ισχύει $\frac{x+1}{x+2}\neq 1$.


3. Αναφέρετε:

I. Δυο αριθμούς που είναι ρητοί και όχι ακέραιοι
II. Τρεις αριθμούς που είναι πραγματικοί και όχι φυσικοί
III. Δυο αριθμούς που είναι ακέραιοι και όχι φυσικοί
IV. Δυο αριθμούς που είναι πραγματικοί και όχι ρητοί