Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Εξισώσεις δευτέρου βαθμού
Γενική μορφή$:$ $\hspace{3mm} ax^2+bx+c=0\hspace{2mm}$ με $\hspace{2mm}a,b,c\in\mathbb{R}\hspace{2mm}$ και $\hspace{2mm}a\neq 0$
Γράφεται: $ax^2+bx+c=0 \Rightarrow x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0 \Rightarrow \\ x^2+2\frac{bx}{2a} + \frac{c}{a}=0 \Rightarrow \\x^2 + 2\frac{bx}{2a} + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow \\(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \Rightarrow \\ \boxed{(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}} \hspace{3mm}(1)$
To πρόσημο του δευτέρου μέλους της $(1)$ εξαρτάται από το πρόσημο της παράστασης $b^2-4ac$ καθώς $4a^2>0\hspace{2mm}(\forall a\neq 0)$.

Θέτω $Δ = b^2-4ac$ και διακρίνω τις παρακάτω περιπτώσεις:

$\cdot$ Aν $Δ < 0$ τότε η εξίσωση $(1)$ είναι αδύνατη στο σύνολο $\mathbb{R}$ καθώς η εξίσωση $y^2 = a$ με $a<0$ δεν έχει πραγματικές λύσεις.
$\cdot$ Αν $Δ = 0$ τότε $(1)\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2 = 0 \Rightarrow \boxed{x = -\frac{b}{2a}}\hspace{2mm}$(μια πραγματική λύση)
$\cdot$ Αν $Δ > 0$ τότε $(1) \Rightarrow x+\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt Δ}{2a}\hspace{2mm}$ ή $\hspace{2mm}x+\frac{b}{2a} = -\frac{\sqrt Δ}{2a} \Rightarrow x=\frac{-b+\sqrt Δ}{2a}\hspace{2mm}$ ή $\hspace{2mm}x = \frac{-b-\sqrt Δ}{2a} \Rightarrow \boxed{x=\frac{-b \pm \sqrt Δ}{2a}}\hspace{2mm}$ (δυο πραγματικές λύσεις)
Παρατηρήσεις:
$\\$ 1. Η διαδικασία με την οποία η αρχική εξίσωση γράφτηκε στη μορφή $(1)$ καλείται συμπλήρωση τετραγώνου και στόχος της είναι η δημιουργία αναπτύγματος παράστασης $(x+y)^2$ μέσω της προσθαφαίρεσης κατάλληλου όρου (εν προκειμένω του $\frac{b^2}{4a^2}$).
2. Η παράσταση $b^2-4ac$ συμβολίζεται με $Δ$ και ονομάζεται διακρίνουσα. Από το πρόσημο της εξαρτάται το πλήθος λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
3. Συμπεραίνουμε ότι κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει αντιστοίχως είτε καμία, είτε μια είτε δυο λύσεις στο σύνολο $\mathbb{R}$.
4. Οι παράμετροι $a,b,c$ ονομάζονται συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Eφαρμογή 1
Δίνεται η εξίσωση $x^2 - 5x + 6 = 0\hspace{2mm}$με $\hspace{2mm}x\in \mathbb{R}$
Αντιπαραβάλλοντάς την με τη γενική μορφή εξίσωσης δευτέρου βαθμού, προκύπτουν οι τιμές των συντελεστών: $α = 1$, $b = -5$ και $c = 6$.

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα $Δ = b^2-4ac = (-5)^2-4\cdot 1\cdot 6 = 1$.
Συμπεραίνουμε ότι $Δ>0$, επομένως η εξίσωση έχει δυο πραγματικές λύσεις:

$x = \frac{-b\pm \sqrt{Δ}}{2a} \Rightarrow x = \frac{5\pm \sqrt{1}}{2} \Rightarrow x = 3$ ή $x = 2$.
Εφαρμογή 2
Δίνεται η εξίσωση $x^2 = 2|x| - 1$.
Επειδή ισχύει $|x|^2 = x^2\hspace{2mm}$ $(\forall x\in\mathbb{R})\hspace{2mm}$ η δοθείσα γράφεται:
$|x|^2 = 2|x| - 1 \Rightarrow |x|^2 - 2|x| + 1=0$

Θέτοντας $y = |x|$, προκύπτει η εξίσωση δευτέρου βαθμού: $y^2-2y+1=0 \Rightarrow (y-1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1$
Όμως $y = |x|$, επομένως $|x| = 1 \Rightarrow x = 1\hspace{2mm}$ ή $\hspace{2mm}x = -1$.

Εξισώση τετάρτου βαθμού που ανάγεται σε επίλυση δευτεροβάθμιας:

$\\$ Θεωρούμε την εξίσωση: $ax^4+bx^2+c=0\hspace{2mm}$ με $\hspace{2mm}a,b,c\in \mathbb{R}\hspace{2mm}$ και $\hspace{2mm}a\neq 0\hspace{2mm} (2)$

Αν θέσουμε $y = x^2$ τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται: $ay^2+by+c=0$ η οποία είναι δευτέρου βαθμού ως προς $y$, έτσι ακολουθούμε την προαναφερθείσα μέθοδο επίλυσης για να βρούμε τις λύσεις ως προς $y$. Έπειτα από την επίλυση της $y=x^2$, θα προκύψουν οι πραγματικές λύσεις της αρχικής (ως προς $x$).

Κάθε εξίσωση της μορφής $(2)$ ονομάζεται διτετράγωνη.
Εφαρμογη 1
Δίνεται η εξίσωση $x^4-2x^2-8=0\hspace{2mm}$ με $\hspace{2mm}x\in\mathbb{R}\hspace{2mm}(3)$
Είναι μια εξίσωση τετάρτου βαθμού ως προς $x$ και διτετράγωνη, έτσι θέτω $y = x^2$ και προκύπτει: $\hspace{2mm}y^2-2y-8=0\hspace{2mm} (4)$ που είναι δευτεροβάθμια ως προς $\hspace{2mm}y$.

$Δ=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8) = 36 > 0$
Συνεπώς η εξίσωση (4) έχει δυο πραγματικές λύσεις: $y = \frac{-b\pm \sqrt{Δ}}{2a} \Rightarrow y = \frac{2\pm \sqrt{36}}{2} \Rightarrow y = 4$ ή $y = -2$.

Όμως, έχουμε θέσει $y = x^2$, επομένως $\hspace{2mm}x^2 = 4\hspace{2mm}$ ή $\hspace{2mm}x^2 = -2$.

Από την $x^2 = 4$ προκύπτει $x=2\hspace{2mm}$ ή $\hspace{2mm}x=-2$ που είναι και οι μοναδικές λύσεις της (3) καθώς η $x^2=-2$ είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$.


Υπολογιστής λύσεων δευτεροβάθμιας εξίσωσης