Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Ορισμός$.$ Πρώτος ονομάζεται κάθε ακέραιος, $p$, μεγαλύτερος του 1 που διαθέτει ακριβώς δυο θετικούς διαιρέτες: τον αριθμό 1 και τον αριθμό $p$.

Λήμμα: Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 1 έχει πρώτο διαιρέτη.
Απόδειξη (Mαθηματική επαγωγή): Έστω $n>1$. Ο αριθμός 2 είναι πρώτος και διαιρείται από το 2, δηλαδή το λήμμα είναι αληθές για $n=2$.
Έστω ότι κάθε ακέραιος $k$ στο $\{2,...,n\}$ έχει πρώτο διαιρέτη. Aν ο $n+1$ είναι πρώτος αριθμός τότε τετριμμένα έχει πρώτο διαιρέτη.
Αν είναι σύνθετος τότε γράφεται ως $n=ab$ για κάποιους ακεραίους $a,b \in \{2,3,...,n-1\}$, έτσι από υπόθεση ο $a$ διαθέτει πρώτο διαιρέτη (και βεβαίως ο $b$), συνεπώς και ο $ab=n$.
Επομένως ο $n+1$ έχει πρώτο διαιρέτη.

Θεώρημα. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι το πλήθος.
Απόδειξη (Ευκλείδης o Αλεξανδρινός, ~300 π.Χ): Υποθέτουμε ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι πεπερασμένου πλήθους, έστω $p_1,p_2,...,p_m$.
Θεωρoύμε τον αριθμό $Ν=p_1p_2\dots p_m+1$. Εφόσον $N > 1$, από το λήμμα πρέπει να διαθέτει πρώτο διαιρέτη.
Ωστόσο κανείς εκ των $p_1,...,p_m$ δεν διαιρεί τον $N$ γιατί κάθε Ευκλείδεια διαίρεση έχει υπόλοιπο 1.


Μια ενδιαφέρουσα τοπολογική απόδειξη του Hillel Furstenberg (1955)

Θεωρώ το σύνολο $\mathbb{Z}$ και το σύνολο $P$ όλων των αριθμητικών πρόοδων του. Ορίζουμε τοπολογία στο $\mathbb{Z}$ που έχει ως βάση το $P$.
Για κάθε πρώτο αριθμό $p$, θεωρούμε το σύνολο $A_p$ που αποτελείται από όλα τα ακέραια πολλαπλάσια του $p$.
Κάθε σύνολο $A_p$ είναι κλειστό επειδή το συμπλήρωμά του ανήκει στην τοπολογία (ανοιχτό) ως ένωση όλων των άλλων αριθμητικών πρόοδων.
Υποθέτω ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι πεπερασμένου πλήθους και ορίζω το σύνολο $A = \cup A_p$.
Τότε το σύνολο $Α$ είναι κλειστό ως πεπερασμένη ένωση κλειστών συνόλων. Επειδή κάθε ακέραιος (εκτός των αριθμών -1 και 1) είναι πολλαπλάσιο πρώτου αριθμού (δηλαδή ανήκει σε κάποιο $A_p$ συνεπώς και στο $Α$), το συμπλήρωμα του $Α$ είναι ίσο με το $\{-1,1\}$ που ως συμπλήρωμα κλειστού οφείλει να είναι ανοιχτό αλλά δεν είναι.

Prime gaps

Ορισμός. Δυο θετικοί ακέραιοι $p \lt q $ ονομάζονται διαδοχικοί πρώτοι αν οι αριθμοί $p+1,p+2,...,q-1$ είναι σύνθετοι.

Θεώρημα. Η απόσταση διαδοχικών πρώτων αριθμών δεν έχει άνω φράγμα.

Απόδειξη: Έστω $n$ ένας θετικός ακέραιος. Θεωρώ τoυς ακεραίους:
$(n+1)!+2, (n+1)!+3, ..., (n+1)! + n + 1$
Οι παραπάνω ακέραιοι είναι διαδοχικοί και σύνθετοι καθώς αντιστοίχως $2|(n+1)!+2, 3|(n+1)!+3, ..., n+1|(n+1)! + n + 1$
Κατασκευάσαμε, λοιπόν, για αυθαίρετα επιλεγμένο ακέραιο, $n$, ένα σύνολο n-1 διαδοχικών ακεραίων που δεν είναι πρώτοι.