Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Γραμμικά συστήματα $2 \times 2$
Ορισμός. Η εξίσωση $ax+by+c=0$ με $a,b,c \in \mathbb{R}$ και $a\neq 0$ ή $b \neq 0$ (1) καλείται γραμμική εξίσωση δυο μεταβλητών.

Ορισμός$.$ Κάθε διατεταγμένο ζεύγος $(x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ καλείται λύση της εξίσωσης (1) αν oι συντεταγμένες του την επαληθεύουν.

Παρατήρηση. Κάθε εξίσωση της μορφής (1) έχει άπειρες λύσεις οι οποίες σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων συγκροτούν μια ευθεία.

Ορισμός. Κάθε ζεύγος εξισώσεων $ax+by+c=0$ με $a,b,c \in \mathbb{R}$ και $a\neq 0$ ή $b \neq 0$ και $cx+dy+e=0$ με $c,d,e \in \mathbb{R}$ και $c\neq 0$ ή $d \neq 0$ καλείται γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους ή γραμμικό σύστημα $2\times 2$.

Το θεωρούμενο σύστημα εξισώσεων, γράφεται ως: $\begin{cases} ax+by+c=0 \\ dx+ey+f=0 \end{cases}$

Ορισμός. Κάθε διατεταγμένο ζεύγος $(x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ που επαληθεύει αμφότερες τις εξισώσεις του συστήματος, ονομάζεται λύση του συστήματος.


Γεωμετρική ερμηνεία λύσεων συστήματος
Ένα σύστημα $2\times 2$, δηλαδή ένα ζεύγος γραμμικών εξισώσεων δυο αγνώστων, παριστάνεται γεωμετρικά (σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων) ως ζεύγος ευθειών των οποίων οι σχετικές τους θέσεις διακρίνονται στις εξής περιπτώσεις:

1. Oι δυο ευθείες τέμνονται σε σημείο $Κ(x_0,y_0)$
Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα των δυο γραμμικών εξισώσεων έχει μοναδική λύση, το ζεύγος $(x_0,y_0)$.

2. Οι δυο ευθείες είναι παράλληλες
Οι ευθείες δεν τέμνονται, συνεπώς δεν υπάρχει σημείο $(x,y)$ του επιπέδου το οποίο να επαληθεύει τις δυο εξισώσεις. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα δεν έχει λύση και ονομάζεται αδύνατο.

3. Οι δυο ευθείες ταυτίζονται
Όταν ταυτίζονται, κάθε σημείο της μιας ευθείας ανήκει και στην άλλη, δηλαδή κάθε λύση της μιας είναι και λύση της άλλης. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα διαθέτει άπειρες λύσεις και ονομάζεται αόριστο.

System lines Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος
H μέθοδος Gauss-Jordan

Εισαγωγικά:

Ορισμός. Δυο γραμμικά συστήματα που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμα.

Παρατηρήσεις:

1. Αν πολλαπλασιάσουμε το πρώτο και δεύτερο μέλος μιας γραμμικής εξίσωσης δυο μεταβλητών με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό $λ\neq 0$ τότε η εξίσωση που προκύπτει έχει τις ίδιες λύσεις με την αρχική. Δυο εξισώσεις που έχουν τις ίδιες λύσεις, ονομάζονται ισοδύναμες.


Ένα παράδειγμα από τις μη γραμμικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού

Θεωρώ τη δευτεροβάθμια εξίσωση $x^2 - 5x + 6 = 0$ και την πολλαπλασιάζω με το $4$. Προκύπτει η εξίσωση $4x^2 - 20x + 24 = 0$. Οι εξισώσεις $x^2 - 5x + 6 = 0$ και $4x^2 - 20x + 24 = 0$ έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις.

Είναι προφανές ότι τα διατεταγμένα ζεύγη που μηδενίζουν την $ax+by+c$, μηδενίζουν και την $λ(ax+by+c) = λax+λby+λc$.

Επομένως, πολλαπλασιάζοντας τις δυο εξισώσεις του συστήματος με πραγματικούς αριθμούς $λ,μ\neq 0$, προκύπτει σύστημα ισοδύναμο του αρχικού.

2. Θεωρώ ένα γραμμικό σύστημα $2\times 2$, και αντικαθιστώ τη δεύτερη εξίσωση με το άθροισμα της πρώτης και της δεύτερης. Τότε προκύπτει σύστημα ισοδύναμου το αρχικού. Πράγματι: $$\begin{cases} ax+by+c=0 \\ dx+ey+f=0 \end{cases} \Rightarrow $$ $$ \begin{cases} ax+by+c=0 \\ (a+d)x+(b+e)y+c+f=0 \end{cases}$$ Aν $(x_0,y_0)$ επαληθεύει τις εξισώσεις $ax+by+c=0$ και $dx+ey+f=0$, τότε $ax_0+by_0+c = 0$ και $dx_0+ey_0+f=0$.

Αθροίζοντας, είναι $(a+d)x_0+(b+e)y_0+c+f=0$, δηλαδή το ζεύγος $(x_0,y_0)$ επαληθεύει την $(a+d)x+(b+e)y+c+f=0$.

Συνεπώς το $(x_0,y_0)$ είναι λύση του συστήματος $\begin{cases} ax+by+c=0 \\ (a+d)x+(b+e)y+c+f=0 \end{cases}$

Αντιστρόφως, αν $(x_0,y_0)$ ικανοποιεί τις $ax+by+c=0$ και $(a+d)x+(b+e)y+c+f=0$ τότε ικανοποιεί την $dx+ey+f=0$. Έτσι τα δυο συστήματα είναι ισοδύναμα.

3. Είναι επίσης προφανές, ότι αλλάζοντας τις θέσεις των δυο εξισώσεων στο δοθέν σύστημα, η ισοδυναμία παραμένει.

Εφαρμογή εύρεσης μοναδικής λύσης
Δίνεται το γραμμικό σύστημα $\begin{cases} 2x+y-7=0 \, (1)\\ x-y+1=0\, (2) \end{cases}$

Πολλαπλασιάζω την εξίσωση (2) με τον αριθμό $-2$:

$\begin{cases} 2x+y-7=0 \,(3)\\ -2x+2y-2=0\, (4) \end{cases}$

Αντικαθιστώ την $(4)$ με το άθροισμα των $(3),(4)$:

$\begin{cases} 2x+y-7=0 \,(5)\\ 3y - 9 = 0\, (6) \end{cases}$

Στην εξίσωση (6) έχει απαλοιφεί η μεταβλητή $x$ και μπορεί να λυθεί σαν πρωτοβάθμια ως προς $y$:

$\begin{cases} 2x+y-7=0 \,(7)\\ y = 5 \end{cases}$

Έχοντας την τιμή της $y$, αντικαθιστώ στην $(7)$ (η διαδικασία καλείται ανάδρομη αντικατάσταση) για να υπολογίσω την τιμή της μεταβλητής $x$:

$\begin{cases} x=2\\ y=3 \end{cases}$, συνεπώς το ζεύγος $(2,3)$ είναι η μοναδική λύση του συστήματος.
Η παραπάνω μέθοδος αναφέρεται στα σχολικά εγχειρίδια και ως μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών.

Η μέθοδος Cramer (Οριζουσών)


Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα: $$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \Rightarrow$$ Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με $a_2$ και τη δεύτερη εξίσωση με $a_1$: $$\begin{cases} a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1 \\ a_1a_2x+a_1b_2y=a_1c_2 \end{cases} \Rightarrow$$ Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με $-1$: $$\begin{cases} -a_2a_1x-a_2b_1y= -a_2c_1 \\ a_1a_2x+a_1b_2y=a_1c_2 \end{cases} \Rightarrow$$ Αντικαθιστούμε την πρώτη εξίσωση με το άθροισμα της πρώτης με τη δεύτερη: $$\begin{cases}(a_1b_2-a_2b_1)y = a_1c_2 - a_2c_1 \\ a_1a_2x+a_1b_2y=a_1c_2 \end{cases} \Rightarrow$$ Αν $a_1b_2-a_2b_1\neq 0$ τότε λύνω την πρώτη εξίσωση ως προς $y$: $$\begin{cases}y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1} \\ a_1a_2x+a_1b_2y=a_1c_2 \end{cases} \Rightarrow$$ H παράσταση $a_1b_2-a_2b_1$ ονομάζεται ορίζουσα και συμβολίζεται με το γράμμα $D$.

Συνηθίζεται να τη γράφουμε ως $\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}$ όπου εμφανίζονται οι συντελεστές των $x, y$ με τη σειρά που εμφανίζονται στην αρχική μορφή του γραμμικού συστήματος. Αρκεί να θυμόμαστε ότι πρέπει να αφαιρούμε τα χιαστί γινόμενα ως εξής: $$D = \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix} = a_1b_2-a_2b_1$$ Όμοια, η παράσταση $a_1c_2 - a_2c_1$ που εμφανίζεται στον αριθμητή του τελευταίου βήματος στο προαναφερθέν γραμμικό σύστημα, συμβολίζεται με $D_x$ και ονομάζεται ορίζουσα του αγνώστου $y$: $$D_y = \begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1$$ Έχοντας, λοιπόν, θεωρήσει τους παραπάνω συμβολισμούς, προκύπτει συντομογραφικά $y = \frac{D_y}{D}$.

Επισήμανση: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει το γραμμικό σύστημα $2 \times 2$ μοναδική λύση, είναι η μη μηδενική ορίζουσα $D$. Αν σε κάποιο γραμμικό σύστημα συμβαίνει $D = 0$ τότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο Cramer των οριζουσών.

Eπιστρέφουμε στο γραμμικό σύστημα: $$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \Rightarrow$$ Πολλαπλασιάζουμε και την πρώτη εξίσωση με $b_2$ και τη δεύτερη εξίσωση με $b_1$: $$\begin{cases} b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1 \\ b_1a_2x+b_1b_2y=b_1c_2 \end{cases} \Rightarrow$$ Τώρα, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση με $-1$: $$\begin{cases} b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1 \\ -b_1a_2x-b_1b_2y=-b_1c_2 \end{cases} \Rightarrow$$ Αντικαθιστούμε τη δεύτερη εξίσωση με το άθροισμα πρώτης και δεύτερης: $$\begin{cases} b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1 \\ (a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-b_1c_2 \end{cases}$$ Όμοια, αν $a_1b_2-a_2b_1\neq 0$, λύνω τη δεύτερη εξίσωση ως προς $x$: $$\begin{cases} b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1 \\ x=\frac{c_1b_2-b_1c_2}{a_1b_2-a_2b_1} \end{cases}$$ Συμβολίζω την παράσταση $c_1b_2-b_1c_2$ με $D_x$ και την ονομάζω ορίζουσα ως προς $x$: $$D_x = \begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix} = c_1b_2-b_1c_2$$
Ο αλγόριθμος της μεθόδου Cramer
1. Θεωρώ το γραμμικό σύστημα: $$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$$ 2. Υπολογίζω την ορίζουσα: $$D = \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix} = a_1b_2-a_2b_1$$ Αν $D\neq 0$ τότε συνεχίζω στο επόμενο βήμα. Διαφορετικά, η μέθοδος δεν μπορεί να εφαρμοστεί και η διαδικασία σταματά εδώ.

4. Υπολογίζω τις ορίζουσες: $$D_x = \begin{vmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{vmatrix} = c_1b_2-b_1c_2$$ $$D_y = \begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1$$ 5. Υπολογίζω τους αριθμούς $\frac{D_x}{D}$ και $\frac{D_y}{D}$.
Το διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών $(\frac{D_x}{D}, \frac{D_y}{D})$ είναι η ζητούμενη μοναδική λύση του γραμμικού συστήματος.

Παρατήρηση: Η μέθοδος των οριζουσών δεν είναι τίποτε περισσότερο από τη δημιουργία αντιθέτων συντελεστών στη γενική μορφή ενός γραμμικού συστήματος $2\times 2$. Παρατηρώντας προσεκτικά τον τρόπο με τον οποίο προέκυψαν οι παραστάσεις που ονομάσαμε ορίζουσες, βλέπουμε ότι πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλο συντελεστή τις γραμμικές εξισώσεις, έτσι ώστε να απαλοιφεί ο ένας εκ των δυο μεταβλητών αθροίζοντάς τις.
Εφαρμογή
Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα: $$\begin{cases} x+y - 1 = 0\\ x-y +1=0 \end{cases}$$ Είναι σημαντικό, το δοθέν γραμμικό σύστημα, να γραφεί στη μορφή $\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$ δηλαδή οι σταθεροί όροι να βρίσκονται στα δεύτερα μέλη των εξισώσεων. Έτσι το δοθέν σύστημα γράφεται:$$\begin{cases} x+y = 1\\ x-y = -1 \end{cases}$$ Έτσι λοιπόν, $a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 1$ και $a_2 = 1, b_2 = -1, c_2 = -1$.

Υπολογίζουμε την ορίζουσα $D = \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix} = -2$.

Εφόσον η ορίζουσα $D$ είναι διάφορη του μηδενός, προχωρούμε στην εφαρμογή της μεθόδου, υπολογίζοντας τις ορίζουσες $D_x$ και $D_y$: $$D_x = \begin{vmatrix}1&1\\-1&-1\end{vmatrix} = 0$$ $$D_y = \begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix} = -2$$ Eπιπλέον $\frac{D_x}{D} = 0$ και $\frac{D_y}{D} = 1$. Κατά συνέπεια, το διατεταγμένο ζεύγος $(0, 1)$ είναι η μοναδική λύση του γραμμικού συστήματος.