Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Ορισμός$.$ Έστω $A\subseteq\mathbb{R}$ και $x_0\in\mathbb{R}$. Το σημείο $x_0$ ονομάζεται σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν για κάθε $ε>0$ ισχύει: $$(x_0-ε,x_0+ε) \cap (A \setminus \{x_0\}) \neq 0$$ Παραδείγματα:
  1. Ο αριθμός 0 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου $A=(-\infty,0)\cup\{2\}$
  2. Ο αριθμός π δεν είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου $Β=(1,\frac{π}{2})$
  3. Ο αριθμός 1 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου $Γ=(0,1)\cup(1,2)$
  4. Κάθε πραγματικός αριθμός είναι σημείο συσσώρευσης του $\mathbb{R}$
  5. To σύνολο $\mathbb{N}$ δεν διαθέτει σημεία συσσώρευσης
  6. Κάθε σημείο του $[α,β]$ είναι και σημείο συσσώρευσής του
  7. Το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του $(α,β)$ είναι το $[α,β]$
  8. Κάθε πεπερασμένο σύνολο δεν διαθέτει σημεία συσσώρευσης

Ορισμός. Έστω συνάρτηση $f:A\rightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ σημείο συσσώρευσης του $Α$ και $l\in\mathbb{R}$.
Αν για κάθε $ε>0$ υπάρχει $δ>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in A$ με $0 \lt |x-x_0| \lt δ$ να ισχύει $|f(x)-l| \lt ε$, τότε λέμε ότι το όριο της $f$, όταν το $x$ τείνει στο $x_0$, ισούται με $l$ και συμβολικά γράφουμε: $$lim_{x \to x_0}f(x) = l$$ Παρατήρηση: Δεν είναι αναγκαία συνθήκη το σημείο να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ αλλά οφείλει να είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της.
Γεωμετρική ερμηνεία
Είναι $0 \lt |x-x_0| \lt δ \Rightarrow x\neq x_0$ και $x_0-δ \lt x \lt x_0+δ$. Επιπλέον $|f(x)-l| \lt ε \Rightarrow l-ε \lt f(x) \lt l+ε.$
Έτσι, αν $lim_{x \to x_0}f(x) = l$ τότε εξ' ορισμού, για οποιοδήποτε δοθέν $ε>0$, υπάρχει $δ>0$ τέτοιο ώστε, για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής στο σύνολο $(x_0-δ,x_0+δ) \cap (A \setminus \{x_0\})$, το σημείο $(x,f(x))$ βρίσκεται εντός του παραλληλογράμου που ορίζουν οι ευθείες $x=x_0-δ$, $x=x_0+δ$, $y=l-ε$ και $y=l+ε$.

Limit

Εφαρμογή
$\lim_{x \to x_0}x = x_0$
Πράγματι, έστω $ε>0$. Επιλέγω $δ = ε$ και έτσι αν $x\neq x_0$ και $x_0-δ \lt x \lt x_0+δ$ τότε $l-ε \lt f(x) \lt l+ε \iff x_0-δ \lt x \lt x_0+δ$.

Ορισμός. Έστω συνάρτηση $f:A\rightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ σημείο συσσώρευσης του $Α$ και $l\in\mathbb{R}$.
Αν για κάθε $ε>0$ υπάρχει $δ>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in A$ με $0 \lt |x-x_0| \lt δ$ να ισχύει $f(x) > ε$, τότε λέμε ότι το όριο της $f$, όταν το $x$ τείνει στο $x_0$, ισούται με $+\infty$ και συμβολικά γράφουμε: $$lim_{x \to x_0}f(x) = +\infty$$
Γεωμετρική ερμηνεία
Aν $lim_{x \to x_0}f(x) = +\infty$ τότε εξ' ορισμού, για οποιοδήποτε δοθέν $ε>0$, υπάρχει $δ>0$ τέτοιο ώστε, για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής στο σύνολο $(x_0-δ,x_0+δ) \cap (A \setminus \{x_0\})$, το σημείο $(x,f(x))$ βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τις $x=x_0-δ$, $x = x_0+δ$ και $y > ε$.

Limit

Εφαρμογή
Δίνεται η συνάρτηση $f: (-\infty,0)\cup(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ με $f(x)=\frac{1}{x^2}$. Eίναι $lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2} = +\infty$.

Πράγματι, έστω $ε>0$. Επιλέγω $δ=\frac{1}{\sqrt ε}$. Για κάθε $x \in(-\frac{1}{\sqrt ε},\frac{1}{\sqrt ε})\setminus\{0\}$ έχουμε $-\frac{1}{\sqrt ε} \lt x \lt \frac{1}{\sqrt ε}$ και $x\neq 0$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{x^2} > ε \Rightarrow f(x)>ε$.