Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Ανασκόπηση (μέρος πρώτο)


«If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is», γράφει o σπουδαίος Ούγγρος μαθηματικός John von Neumann στο πρώτο μισό του 20ου αιώνα. Η μαθηματική γνώση αποτελεί ίσως το κορυφαίο επίτευγμα της ανθρώπινης νοημοσύνης. «Το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα των Μαθηματικών» διαπιστώνει στην Αναγέννηση ο Γαλιλαίος. Αντιλαμβανόμενοι τα μαθηματικά και ως μορφή τέχνης, ας έχουμε κατά νου το απόφθεγμα της αείμνηστης Ιρανής μαθηματικού και κατόχου του μεταλλίου Fields Maryam Mirzakhani: «The beauty of mathematics shows itself to patient followers».

Τα Μαθηματικά που ο σπουδαίος C.F. Gauss χαρακτήρισε «βασίλισσα των επιστημών» δεν διαθέτουν διακριτό ιστορικό σημείο εκκίνησης. Λόγου χάρη, η αντίληψη του πλήθους, ως βασική μαθηματική έννοια, φαίνεται ότι είναι σύμφυτη όχι μόνο της νοημοσύνης της ανθρωπότητας αλλά και του λοιπού ζωϊκού βασιλείου$.$ Επιπλέον, οι μαθηματικές έννοιες, παρά το ότι φαινομενικά αφορούν το «κλειστό» και αυστηρό περιβάλλον της μαθηματικής επιστήμης, διατυπωμένες σε συμβολική γλώσσα που φαντάζει απόκοσμη, διαθέτουν τόσο μεγάλη γενικότητα που μετρώντας τα δάκτυλά σου, έχεις ουσιαστικά θεωρήσει μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των δακτύλων σου και πεδίο τιμών το $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ η οποία μάλιστα είναι $1-1$ και επί.

Το παράδειγμα των μυρμηγκιών του είδους Cataglyphis fortis που εξελίχθηκε στα μέσα της Κρητιδικής περιόδου, πριν από περίπου 100 εκατομμύρια χρόνια, είναι εντυπωσιακό. Το εν λόγω είδος διανύει Σαχάρια απόσταση δεκάδων μέτρων προς αναζήτηση τροφής. Ομάδα Γερμανών και Ελβετών επιστημόνων, μεταβάλλοντας πειραματικά το μέγεθος των άκρων τους, ανακάλυψε ότι το μυρμήγκι διαθέτει έναν μηχανισμό μέτρησης των βημάτων του. Μετά το ταξίδι αναζήτησης νεκρού εντόμου και παίρνοντας το δρόμο της επιστροφής, τα μυρμήγκια με προσαυξημένα άκρα, προσπέρασαν την είσοδο της φωλιάς τους ενώ εκείνα με μειωμένο το μήκος των άκρων τους, δεν κατάφεραν να την προσεγγίσουν. Στη σελίδα https://tinyurl.com/23j6b26t έχει αναρτηθεί η εν λόγω έρευνα.

Η Ιωνική σχολή και η καταστροφή της Μιλήτου (494 π.Χ.)
Αδύνατον να παραλείψουμε μια σύντομη αναφορά στους θεμελιωτές της δυτικής φιλοσοφίας, τους αρχαίους Έλληνες και συγκεκριμένα στη σχολή της Ιωνίας που ο μεγάλος Θαλής ίδρυσε στη Μίλητο της Μικράς Ασίας περίπου το 600 π.Χ. Μαζί με τους λίγο νεότερούς του, Αναξίμανδρο (611-546 π.Χ) και Αναξιμένη (585-528 π.Χ), έθεσαν τις βάσεις της πρώιμης επιστημονικής σκέψης. Ο Θαλής και οι Ίωνες φιλόσοφοι εφοδίασαν τα μαθηματικά με την απόδειξη που έκτοτε έγινε αναπόσπαστο τμήμα τους. Στη συνέχεια οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι πήραν τη σκυτάλη και προχώρησαν την αποδεικτική διαδικασία για να τελειοποιηθεί στην Ακαδημία Πλάτωνος (ιδρυθείσα το 387 π.Χ). Η απόδειξη είναι ένα αποκλειστικά ελληνικό δημιούργημα που χρειάστηκε περίπου 250 χρόνια για να ολοκληρωθεί ως διαδικασία. Όπως χαρακτηριστικά είπε ο Bertrand Russell «Philosophy begins with Thales». Στα τέλη του 6ου π.Χ αιώνα οι Ιωνικές πόλεις των παραλίων της Μικράς Ασίας προσαρτήθηκαν στην περσική αυτοκρατορία. Σταδιακά η Ιωνική Σχολή ακολούθησε τη μοίρα των πόλεων της Ιωνίας, έχασε το κύρος της, συρρικνώθηκε και προϊόντος του χρόνου εξαφανίστηκε. Η ίδια η Μίλητος, έδρα της Ιωνικής Σχολής, καταστράφηκε το 494 π.Χ από τους Πέρσες γιατί συμμετείχε στην επανάσταση των Ιωνικών πόλεων κατά της περσικής κυριαρχίας.

Ancient Greece

Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι (6ος π.Χ. αιώνας)
Τη σκυτάλη της σπουδαίας αρχαιοελληνικής ιστορίας έλαβε ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.Χ. - 496 π.Χ), μέλος της σχολής της Ιωνίας, o οποίος φτάνοντας στον Κρότωνα της νοτίου Ιταλίας, δημιούργησε οίκημα ομαδικής διδασκαλίας, το λεγόμενο Ομακοείον που υπήρξε φιλοσοφική, θρησκευτική, πολιτική σχολή και ως δομή είχε μια εξαιρετικά ιδιαίτερη οργάνωση. Όσους έκρινε ικανούς να διδαχθούν, ο Πυθαγόρας τους υπέβαλλε σε τριετή απομόνωση, προκειμένου να διαπιστώσει τη φιλομάθειά τους. Κατόπιν επερχόταν το στάδιο της πενταετούς σιωπής, προς άσκηση της εγκράτειας σε υπόβαθρο μη αποκάλυψης των διδαγμάτων στο ευρύ κοινό. Οι μαθητές άκουγαν τον Πυθαγόρα χωρίς να τον βλέπουν, συμμετέχοντας στην διδασκαλία μόνο με την ακοή για μεγάλο χρονικο διάστημα. Κατά το διάστημα της δοκιμασίας, τα υπάρχοντά τους καθίσταντο κοινά και δίδονταν στους εταίρους, τους μαθητές που ήσαν αποδεδειγμένα ικανοί, του επομένου σταδίου. Είναι δυστυχώς αντικρουόμενη και ισχνή η ιστορική έρευνα για τον Πυθαγορισμό. Μια βασική πηγή μας έρχεται από τον Ιάμβλιχο στο έργο του «Περί του Πυθαγορικού βίου». Η έδρα του Ομακοείου, ο Κρότωνας (σημερινό Crotone), υπήρξε αρχαιοελληνικός, ιδρυθείς περίπου το 710 π.Χ. από Αχαιούς. Το 194 π.Χ. έγινε Ρωμαϊκή αποικία και άρχισε να παρακμάζει. Σπουδαίος Πυθαγόρειος φιλόσοφος υπήρξε ο Ίππασος ο Μεταποντινός. Θεωρείται από τους αρχαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα και ήταν ο ιδρυτής του «μαθηματικού τμήματος» της Πυθαγόρειας Σχολής. Στον Ίππασο αποδίδεται η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών (άρρητοι αριθμοί).
Δείτε εδώ δυο αποδείξεις του γεγονότος ότι ο αριθμός $\sqrt{2}$ είναι άρρητος.

Timeline

Η ακαδημία Πλάτωνος (387 π.Χ.)
Ιδρύθηκε από τον Πλάτωνα (427 π.Χ. - 347 π.Χ.) περίπου το 387 π.Χ. στην Αθήνα. Μεταξύ άλλων, σε αυτή μαθήτευσαν οι Αριστοτέλης, Θεόδωρος ο Κυρηναίος, Λεωδάμας ο Θάσιος, Θεαίτητος ο Αθηναίος, Εύδοξος ο Κνίδιος, Δεινόστρατος, Ευκλείδης, Πρόκλος. Για τον Πλάτωνα, όπως γίνεται σαφές στο έργο «Πολιτεία» και όχι μόνον, η μαθηματική γνώση (οριζόμενη τότε από τους κλάδους της αριθμητικής, επιπεδομετρίας, στερεομετρίας, αστρονομίας και αρμονικής) θεωρείται προαπαιτούμενο για την ενασχόληση με τη φιλοσοφία. Η Ακαδημία επεξέτεινε τη μαθηματική γνώση των Πυθαγορείων και το κορυφαίο σωζόμενο επιστημονικό έργο της αρχαιότητας, τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη του Αλεξανδρινού, θεωρείται απόσταγμα αυτής.

Τα Στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία τα οποία συνέγραψε ο Ευκλείδης στην Αλεξάνδρεια περίπου το 300 π.Χ. Περιλαμβάνουν την «Ευκλείδειο Γεωμετρία» καθώς και στοιχεία από το πεδίο της Θεωρίας Αριθμών. Θεωρείται το παλαιότερο σωζόμενο μαθηματικό έργο, κομβικής σημασίας για τον ρου της επιστήμης, αφού συστηματοποίησε τη μαθηματική γνώση σε ένα συμπαγές αξιωματικό σύστημα. Τα «Στοιχεία» καταλαμβάνουν τη δεύτερη θέση σε αριθμό εκδόσεων, μετά τη Βίβλο. Στην εν λόγω πραγματεία συναντώνται οι αποδεικτικές μέθοδοι: συνθετική, εις άτοπον απαγωγή, αναλυτική και μαθηματική επαγωγή. Τα βιβλία Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και IV αναπτύσσουν την επιπεδομετρία χωρίς τις αναλογίες. Πιο συγκεκριμένα, τα Ι και ΙΙ αναφέρονται στα ευθύγραμμα σχήματα, ενώ τα ΙΙΙ και ΙV αφορούν τη γεωμετρία του κύκλου. Τα βιβλία V και VΙ αφορούν τις αναλογίες και την έννοια της ομοιότητας. Τα βιβλία VΙΙ, VΙΙΙ και ΙΧ πραγματεύονται στοιχεία της θεωρίας αριθμών. Το βιβλίο Χ αναφέρεται στα ασύμμετρα μεγέθη και στην αρρητότητα και τέλος τα ΧΙ, ΧΙΙ, ΧΙΙΙ παρουσιάζουν τη στερεομετρία. Mε σύνολο 121 ορισμών, 5 αιτημάτων, 9 κοινών εννοιών και 465 προτάσεων, ο μεγάλος Ευκλείδης ουσιαστικά διαμόρφωσε τη μαθηματική επιστήμη. H Ακαδημία Πλάτωνος έκλεισε οριστικά το 529, μετά από σχεδόν δέκα αιώνες λειτουργίας, καταργούμενη από τον Βυζαντινό αυτοκράτορα Ιουστινιανό.

Ο Ερατοσθένης πραγματοποιεί τον πρώτο υπολογισμό της περιμέτρου της Γης
Γεννήθηκε στην Κυρήνη, το 276 π.Χ. και έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου όπου και απεβίωσε το 194 π.Χ. Το 236 π.Χ. ορίστηκε Διευθυντής της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, ενός από τα δύο μεγάλα πανεπιστημιακά ιδρύματα της πόλης. Ο Ερατοσθένης υποστήριξε τη σφαιρικότητα του πλανήτη μας και κατάφερε να πραγματοποιήσει υπολογισμό της περιφέρειας της Γης σε 252.000 αλεξανδρινά στάδια. Το αλεξανδρινό στάδιο ισούται με 157,50 μέτρα, συνεπώς η εκτίμηση της περιμέτρου ήταν 39.690 χιλιόμετρα. Ο εν λόγω υπολογισμός είναι εξαιρετικής ακρίβειας με ιδιαιτέρως μικρό σχετικό σφάλμα συγκριτικά με τη σύγχρονη τιμή των περίπου 40.048 χιλιομέτρων η οποία προκύπτει από δορυφορικές μετρήσεις. Οι δυο βασικές υποθέσεις στις οποίες στηρίχθηκε ο Ερατοσθένης ήταν η σφαιρικότητα της Γης και ότι εξαιτίας της μεγάλης απόστασης Γής - Ηλίου, οι ηλιακές ακτίνες φτάνουν στη Γη ως παράλληλες.

Oι Έλληνες της αρχαιότητας έχουν διαπιστώσει τη σφαιρικότητα της Γης βασιζόμενοι σε παρατηρήσεις που σχετίζονται με το σχήμα της σκιάς που ρίχνει η Γη στη Σελήνη κατά τη διάρκεια μιας ολικής έκλειψης Σελήνης, την αλλαγή της θέσης των αστέρων που βλέπουμε από διαφορετικούς τόπους της Γης την ίδια χρονική στιγμή (ή και τη μεταβολή της θέσης του πολικού αστέρα όσο μετακινούμαστε από νοτιότερες προς βορειότερες περιοχές), την παρατήρηση ενός πλοίου που, καθώς απομακρύνεται στον ορίζοντα από οποιονδήποτε παρατηρητή, χάνεται από την όρασή μας σταδιακά, με το κατάρτι να είναι το τελευταίο ορατό του σημείο.

Eratosthenes
(source: https://oceanservice.noaa.gov)

Αρχικά, ήταν γνωστό σε προγενέστερους του Ερατοσθένη ότι στη Συήνη (σημερινό Ασσουάν, πόλη της νότιας Αιγύπτου στη δυτική όχθη του Νείλου, κοντά στον τροπικό του Καρκίνου) και συγκεκριμένα στις 21 Ιουνίου (κοντά στο θερινό ηλιοστάσιο), οι ακτίνες του Ηλίου έπεφταν κάθετα στο οριζόντιο επίπεδο.
Αυτό το συμπέραναν εξ αιτίας ενός πηγαδιού στη Συήνη, το οποίο φωτιζόταν ολόκληρο από τις ακτίνες του Ήλιου μέχρι τον πυθμένα του, συνεπώς οι ηλιακές ακτίνες προσέπιπταν καθέτως στο επίπεδο της υδάτινης επιφάνειας.


Eratosthenes


Mε τη βοήθεια του βασιλιά Πτολεμαίου ο οποίος διέθεσε το αναγκαίο σώμα «βηματιστών» (με σταθερούς διασκελισμούς κατέγραφαν αποστάσεις), ο Ερατοσθένης έμαθε την απόσταση Συήνης - Αλεξάνδρειας (τόξο ΑΒ) στα περίπου 5.000 στάδια, ωστόσο δεν υπάρχει ιστορική βεβαιότητα για τον τρόπο με τον οποίο μετρήθηκε η εν λόγω απόσταση και ενδεχομένως να ήταν μια ήδη υπάρχουσα γνώση στους Αιγυπτιακούς τοπογραφικούς χάρτες. Ορισμένοι μελετητές θεωρούν ότι ο υπολογισμός πραγματοποιήθηκε με βάση την ταχύτητα με την οποία ταξίδευαν τα καραβάνια, ήτοι περίπου 100 στάδια ημερησίως σε συνδυασμό με το γεγονός ότι χρειάζονταν κατά κανόνα 50 ημέρες για την μετάβαση από τη Συήνη στην Αλεξάνδρεια.

Ο Ερατοσθένης εν συνεχεία στην περιοχή της Αλεξάνδρειας, φέρεται να στερέωσε κάθετα στο έδαφος ένα κοντάρι (τμήμα ΒΔ) το οποίο δημιούργησε τη σκιά ΒΓ και έτσι υπολόγισε τη γωνία ΒΔΓ ως ελάχιστα μεγαλύτερη από το ένα πεντηκοστό της περιφέρειας κύκλου, ήτοι περίπου 7.2 μοίρες.

Από τη στοιχειώδη Ευκλείδειο Γεωμετρία, γνωρίζουμε ότι οι γωνίες ΒΔΓ και ΑΚΒ είναι ίσες ως εντός εναλλάξ. Έτσι λοιπόν, η γωνία ΑΚΒ των 7.2 μοιρών (το $\frac{1}{50}$ των 360 μοιρών) βαίνει σε τόξο 5.000 σταδίων (AB) το οποίο σημαίνει πως η πλήρης γωνία (με μέτρο 360 μοιρών) βαίνει σε τόξο περίπου 250.000 σταδίων (περίμετρος Γης).