Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Η γεωμετρική πρόοδος
Ορισμός$.$ Κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{N}$ ονομάζεται ακολουθία.
Ένα παράδειγμα αποτελεί η συνάρτηση $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ με $f(n)=2n$:
$1\rightarrow 2$
$2\rightarrow 4$
$3\rightarrow 6$
$\vdots$
που απεικονίζει κάθε φυσικό αριθμό στον διπλάσιό του.
Επειδή κάθε ακολουθία έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο $\mathbb{N}$, συνηθίζουμε να αναφερόμαστε σε αυτή γράφοντας τις εικόνες των φυσικών αριθμών μέσω της εν λόγω συνάρτησης. Λόγου χάρη, για να αναφερθούμε στην ακολουθία του παραπάνω παραδείγματος, γράφουμε: $2, 4, 6, 8, \dots$
Οι εικόνες $f(1),f(2),\dots$ονομάζονται όροι της ακολουθίας και συμβολίζονται με $a_1,a_2,a_3,\dots$

Ορισμός. Μια ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος αν κάθε όρος προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο με τον ίδιο πάντοτε αριθμό,
δηλαδή αν $\forall n$$\geq 2$ είναι $a_n = λa_{n-1}$.
O πραγματικός αριθμός $a_1$ ονομάζεται αρχικός όρος.
Για να οριστεί μια γεωμετρική πρόοδος, χρειαζόμαστε τον αρχικό όρο και το λόγο λ. Για παράδειγμα, με $a_1=3$ και $λ = 4$ τότε παράγεται η ακολουθία $3,12,48,192,\dots$

Ο γενικός όρος και το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής πρόοδου
Θεώρημα. Αν $S$ είναι μια γεωμετρική πρόοδος με αρχικό όρο $a_1$ και λόγο $λ$, τότε για κάθε $n$ $\geq$ $2$, ο n-oστός όρος είναι: $$\boxed{a_n = a_1λ^{n-1}}$$ Απόδειξη. Με την μαθηματική επαγωγή, για $n = 2$, είναι $a_2 = λa_1=a_1λ^1$, δηλαδή η σχέση είναι αληθής.
Αν $a_n = a_1λ^{n-1}$ για κάθε $n$ από $2$ έως $k$, τότε $a_{k+1} = λa_k = λa_1λ^{k-1} = a_1λ^κ$.

Έτσι, θεωρώντας την ακολουθία $2,6,18,\dots$, με αρχικό όρο $a_1=2$ και λόγο $λ=3$, μπορώ να υπολογίσω τον έβδομο όρο της: $a_7 = 2\cdot 3^6 = 2916$.

Θεώρημα. Το άθροισμα των $n$ πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου, $a_1+a_2+\dots +a_n$, συμβολικά $S_n$ είναι:$$\boxed{S_n = a_1\frac{λ^n-1}{λ-1}}$$
Απόδειξη:

Ισχύουν:

$a_1 = a_1$
$a_2 = λa_1$
$a_3 = λa_2 = λ^2a_1$
$a_4 = λa_3 = λ^3a_1$
$\vdots$
$a_n = λ^{n-1}a_1$

Προσθέτω τις παραπάνω εξισώσεις κατά μέλη:

$S_n = a_1+a_2+a_3+\dots +a_n=$
$= a_1 + λa_1 + λ^2a_1+λ^3a_1 + \dots + λ^{n-1}a_1 \hspace{4mm} (1)$

Πολλαπλασιάζω την παραπάνω ισότητα με λ:

$λS_n = λa_1 + λ^2a_1 +λ^3a_1 + \dots + λ^na_1 \hspace{4mm} (2)$

Αφαιρώ την $(1)$ από τη $(2)$:

$λS_n - S_n = a_1λ^n-a_1 \Rightarrow $

$(λ-1)S_n = a_1(λ^n-1) \Rightarrow $

$S_n = a_1\frac{λ^n-1}{λ-1}$

Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή
Καταθέτουμε στην τράπεζα $1$€. Την επομένη, καταθέτουμε ποσό ίσο με το διπλάσιο του πρώτου, δηλαδή $2$€.
Ακολουθούμε αυτή τη διαδικασία για 30 ημέρες: κάθε ποσό που καταθέτουμε, θα είναι το διπλάσιο εκείνου που καταθέσαμε την προηγούμενη ημέρα, έτσι προκύπτει η ακολουθία καταθέσεων:

$1$€, $2$€, $4$€, $8$€, $16$€, $32$€,...

Προφανώς, είναι όροι της γεωμετρικής πρoόδου με πρώτο όρο το $a_1=1$ και λόγο $λ=2$, συνεπώς:
Το συνολικό ποσό που θα έχουμε καταθέσει μετά από 30 ημέρες θα είναι:

$S_{30} = 1\cdot\frac{2^{30}-1}{2-1} = 1073741823$, δηλαδή περισσότερα από 10 δισεκατομμύρια ευρώ.
Η εφαρμογή υποδεικνύει την εντυπωσιακή αύξηση των όρων μιας γεωμετρικής προόδου.