Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Ορισμός$.$ Θεωρούμε δυο μη κενά σύνολα $A,Β$. To σύνολο $A\times B = \{(a,b): a\in A, b\in B\}$ ονομάζεται καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων $Α, Β$.

Για παράδειγμα, αν $Α = \{1,2\}$ και $Β = \{0,1\}$ τότε $Α\times B = \{(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)\}$.

Κάθε στοιχείο της μορφής $(a,b)$ ονομάζεται διατεταγμένο ζεύγος.

Ορισμός. Συνάρτηση από το σύνολο $Α$ στο σύνολο $Β$ καλείται κάθε υποσύνολο $Γ$ του $Α\times B$ με την ιδιότητα: αν $(x,y), (x,z)\in A\times B$ τότε $y = z$ (1).
To σύνολο $Α$ ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το σύνολο $B$ ονομάζεται πεδίο τιμών της συνάρτησης.

Για να έχω, λοιπόν, συνάρτηση, θα πρέπει το $Γ$ να μην περιέχει διατεταγμένα ζεύγη με ίσα τα πρώτα τους στοιχεία και άνισα τα δεύτερα.
Για παράδειγμα, αν ένα υποσύνολο $Γ$ περιέχει τα στοιχεία $(4, 7), (4, 8)$ τότε δεν είναι συνάρτηση.
Κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο $Α$ και πεδίο τιμών το σύνολο $Β$ συμβολίζεται με $f:A \rightarrow B$.

Θεωρούμε τα σύνολα $Α=\{0,1\}$ και $Β=\{1,2\}$, τότε το καρτεσιανό τους γινόμενο είναι $A \times B = \{(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)\}$.
Επιπλέον, θεωρούμε τα υποσύνολα $Γ = \{(1,0),(2,1)\}$ και $Δ = \{(1,0),(1,1)\}$. Εφόσον το $Γ$ είναι ένα υποσύνολο του $A \times B$ και ικανοποιεί την ιδιότητα (1), το σύνολο $Γ$ είναι συνάρτηση.
Έχουμε $(1,0),(1,1)\in Δ$ με ίσα τα πρώτα και άνισα τα δεύτερα στοιχεία τους, συνεπώς το $Δ$ δεν αποτελεί συνάρτηση.

Ορισμός. Aν το διατεταγμένο ζεύγος $(x,y)$ ανήκει σε μια συνάρτηση $f$, τότε το στοιχείο $y$, συμβολίζεται με $f(x)$ και ονομάζεται εικόνα τoυ $x$ μέσω της συνάρτησης $f$.
Επιπλέον, λέμε ότι η συνάρτηση $f$ απεικονίζει το στοιχείο $x\in A$ στο στοιχείο $f(x)\in B$.

Παρατήρηση. Tα σύνολα $Α$ (πεδίο ορισμού) και $Β$ (πεδίο τιμών) δεν είναι κατ ανάγκη σύνολα αριθμών.
Μπορούμε να ορίσουμε συνάρτηση, σε δυο οποιαδήποτε μη κενά σύνολα.

Παραδείγματα συναρτήσεων

1. Θεωρώ το σύνολο $A = \{0,1\}$ και το σύνολο $Β = \{0\}$. Είναι $Α \times B = \{(0,0),(1,0)\}$.
Θεωρώ το σύνολο $Γ = \{(1,0)\} \subset Α \times B$ το οποίο είναι μια συνάρτηση με $0 = f(1).$


2.
triangle

Θεωρώ τρίγωνο ΑΒΓ και $Μ,Ν$ τα μέσα των πλευρών $ΑΒ, ΑΓ$ αντίστοιχα και έστω σημείο $Δ$ του ευθυγράμμου τμήματος $ΜΝ$.
Προεκτείνω το $ΑΔ$ μέχρι να τμήσει το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ σε σημείο, έστω $Ε$ το οποίο θα είναι η εικόνα του σημείου $Δ$ μέσω της συνάρτησης.
Για κάθε σημείο του τμήματος $ΜΝ$, ακολουθούμε την εν λόγω διαδικασία η οποία συγκροτεί μια συνάρτηση καθώς κάθε σημείο του τμήματος $ΜΝ$ αντιστοιχεί σε ένα και μοναδικό σημείο του τμήματος $ΒΓ$.
Αυτό σημαίνει ότι στην εν λόγω συλλογή διατεταγμένων ζευγών της μορφής $(C,f(C))$ ($C$ σημείο του $ΜΝ$ και $f(C)$ το αντίστοιχο του $ΒΓ$) δεν υπάρχουν διατεταγμένα ζεύγη με ίσα πρώτα και άνισα δεύτερα στοιχεία.
Η προαναφερθείσα συνάρτηση έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο σημείων ΜΝ και ως πεδίο τιμών το σημειοσύνολο ΒΓ.


3. Θεωρούμε τα σύνολα $A = (0, +\infty)$ και $Β = \mathbb{R}$ με $f(x) = ln(x)$.
Η συνάρτηση $f: (0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ απεικονίζει κάθε θετικό πραγματικό αριθμό, $x$, στον πραγματικό αριθμό $ln(x)$.
Σαν υποσύνολο του $(0,+\infty)\times \mathbb{R}$, η εν λόγω συνάρτηση αποτελείται από όλα τα στοιχεία της μορφής $(x, ln(x))$ όπου $x\in (0,+\infty)$.