Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Η σύγκλιση της ακολουθίας$:$ $(1+\frac{1}{n})^n$
Θεώρημα. Κάθε πραγματική ακολουθία $(x_n)$, φραγμένη και μονότονη, είναι συγκλίνουσα.
Aπόδειξη. Έστω $(x_n)$ αύξουσα ακολουθία και φραγμένη. Aπό αξίωμα ελαχίστου άνω φράγματος, διαθέτει supremum, έστω $sup(x_n)$.
Έστω $ε>0$. Είναι $sup(x_n) - ε < sup(x_n)$ και έτσι υπάρχει $x_N$ τέτοιος ώστε $sup(x_n) - ε$ $<$ $x_N \leq sup(x_n)$ (αν δεν υπήρχε τέτοιος όρος, το $sup(x_n)$ δεν θα ήταν το ελάχιστο άνω φράγμα). Eπειδή η ακολουθία είναι εξ' υποθέσεως αύξουσα, $\forall n \geq N$ θα είναι $x_n \geq x_N$ συνεπώς $sup(x_n) - ε$ $<$$x_N \leq x_n \leq sup(x_n)$.
Επομένως για κάθε $ε>0$ είναι $|sup(x_n)-x_n|<ε (\forall n \geq N)$ δηλαδή $(x_n) \to sup(x_n)$, άρα είναι συκλίνουσα. Oμοίως, αν η ακολουθία είναι φθίνουσα, θεωρούμε την αύξουσα $(-x_n)$ και από την ιδιότητα $sup(-x_n) = -inf(x_n)$, προκύπτει ότι η $(x_n)$ συγκλίνει στο $inf(x_n)$.

Ανισότητα Bernoulli. Για κάθε $a>-1$ και $a\neq 0$ είναι $(1+a)^n > 1+na$ για κάθε $n \geq 2$.
Απόδειξη. Με χρήση της μαθηματικής επαγωγής$^1$, αρχικά η ανισότητα είναι αληθής για $n=2$: $(1+a)^2 = 1 + 2a + a^2 > 1 + 2a$.
Έστω $a\in(-1,0)\cup(0,+\infty)$ με $(1+a)^n > 1 + na$. Τότε $(1+a)^{n+1} =$
$= (1+a)(1+a)^n > (1+a)(1+na) =$
$= 1 + na + a + na^2 > 1+na +a = 1+(n+1)a$.

Θεώρημα. Η ακολουθία $a_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ είναι γνησίως αύξουσα.
Απόδειξη. $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}n)^n} = (1+\frac{1}{n}) \frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}n)^{n+1}} =$$
$$= (1+\frac{1}{n}) (\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}})^{n+1} = (1+\frac{1}{n}) (\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1})^{n+1} =$$
$$= (1+\frac{1}{n}) (1-\frac{1}{(n+1)^2})^{n+1} $$
Από την ανισότητα Bernoulli, για $a = -\frac{1}{(n+1)^2}$, έχουμε $(1+\frac{1}{n}) (1-\frac{1}{(n+1)^2})^{n+1}$ $>$ $(1+\frac{1}{n})(1-\frac{n+1}{(n+1)^2}) = 1$, συνεπώς $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ $>$ $1$,
επομένως η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα.

Θεώρημα. Η ακολουθία $b_n = (1 + \frac{1}{n})^{n+1}$ είναι γνησιως φθίνουσα.
Απόδειξη. Ομοίως, από την ανισότητα Bernoulli:

$\frac{b_{n}}{b_{n+1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n+1})^{n+2}} = \frac{1}{1+\frac{1}{n+1}} (\frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}})^{n+2} = \frac{n}{n+1}(1+\frac{1}{n(n+2)})^{n+2}$ $>$ $\frac{n}{n+1} (1+\frac{1}{n}) = 1$,

επομένως είναι γνησίως φθίνουσα.

Είναι: $a_1 = 2$ και $b_1 = 4$. Επιπλέον, $a_n < b_n$ διότι $b_n = (1+\frac{1}{n})a_n$ και $1+\frac{1}{n}$ $>$ $1$.

$\boxed{2 \leq (1 + \frac{1}{n})^n \leq (1 + \frac{1}{n})^{n+1} \leq 4}$

Οι δυο ακολουθίες, είναι μονότονες και φραγμένες, άρα συγκλίνουν.

Επιπλέον, αν $e = lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$ τότε $lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{n+1} = e \cdot lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n}) = e$, δηλαδή oι $a_n, b_n$ έχουν το ίδιο όριο.

$^1$Η μαθηματική επαγωγή είναι λογικά ισοδύναμη της αρχής της καλής διάταξης:
Κάθε μη κενό υποσύνολο του $\mathbb{N}$ διαθέτει ελάχιστο στοιχείο, δηλαδή $\forall S \subset \mathbb{N}$ υπάρχει $s\in S$ τέτοιο ώστε για κάθε $a \in S$: $a\geq s$.

Πηγή: Real Analysis, N.L. Carothers - Cambridge University Press