Ο αλγόριθμος υλοποιείται με τη βοήθεια της σειράς Chudnovsky:
$$12\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(6n)!(13591409+545140134n)}{(3n)!(n!)^3 640320^{3n+\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\pi}$$

Αντιγράψτε τον παρακάτω κώδικα σε ένα περιβάλλον της Mathematica.
Πατώντας shift και enter, σε παράθυρο διαλόγου θα ζητηθεί ο επιθυμητός αριθμός επαναλήψεων.

n = Input[]; N[(12 \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 0\), \(n\)] \*FractionBox[\( \*SuperscriptBox[\((\(-1\))\), \(k\)]*\(\((6*k)\)!\)*\((13591409 + 545140134*k)\)\), \(\(\((3*k)\)!\) \*SuperscriptBox[\((\(k!\))\), \(3\)]* \*SuperscriptBox[\(640320\), \(3*k + 3/2\)]\)]\))^(-1), 30 n]

Πρόκειται για σειρά (βασισμένη στις ανακαλύψεις του Srinivasa Ramanujan) της οποίας τα μερικά αθροίσματα συγκλίνουν ταχύτατα: εκτελώντας τον αλγόριθμό με μόλις τρεις επαναλήψεις, το output συμφωνεί με τον αριθμό $\pi$ σε 41 δεκαδικά ψηφία.

Ο αλγόριθμος δημοσιεύτηκε το 1988 (από τους David και Gregory Chudnovsky) με τη βοήθεια του οποίου, στις 14 Αυγούστου 2021, υπολογίστηκαν 62.8 τρισεκατομμύρια ψηφία.

Μια απόδειξη για τη σύγκλιση της σειράς Chudnovsky θα βρείτε εδώ.

Μέσω του Wolfram cloud, σε περίπτωση που δεν έχετε εγκατεστημένη τη Mathematica, μπορείτε να τρέξετε κώδικα Wolfram.
Το μόνο που απαιτείται είναι η δημιουργία λογαριασμού μέσω της επιλογής sign up.


Η συχνότητα εμφάνισης των ψηφίων 0 έως 9 στο δεκαδικό ανάπτυγμα του $\pi$

Ένας πραγματικός αριθμός ονομάζεται κανονικός αν τα δεκαδικά του ψηφία εμφανίζονται ομοιόμορφα, δηλαδή δεν υπάρχει δεκαδικό του ψηφίο με μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης από άλλο. Δεν έχει αποδειχθεί ότι ο αριθμός $\pi$ είναι κανονικός, ωστόσο σε αυτή την υπόθεση οδηγεί η στατιστική παρατήρηση. Ακολουθεί ένα υπέροχο animation της σελίδας medium.com.

Pi digits frequency