Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Ορισμός$.$ Αν $Α$ είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τότε το πολυώνυμο $X_A(λ) = det(A-λΙ)$ ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα $Α$.

Θεώρημα Cayley - Hamilton: $X_Α(A)=0$.

Έστω αντιστρέψιμος τετραγωνικός πίνακας $Α$ ($det(A) \neq 0$) και $X_A(λ)$ το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο.

$Χ_Α(Α) = 0 \Rightarrow \\ A^n+c_{n-1}A^{n-1} + ... + c_1A + (-1)^n det(A)I_n = 0 \Rightarrow$ (πολλαπλασιάζουμε με $Α^{-1}$)

$A^{n-1} + c_{n-1}A^{n-2}+ ... + c_1I_n + (-1)^n det(A) A^{-1} = 0 \Rightarrow$

$A^{-1} = -\frac{1}{(-1)^n det(A)} (A^{n-1} + c_{n-1}A^{n-2}+ ... + c_1I_n)$
Eφαρμογή
Δίνεται ο πίνακας $\begin{equation*} Α = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$ για τον οποίο $det(A) = 2 \neq 0$, δηλαδή είναι αντιστρέψιμος με χαρακτηριστικό πολυώνυμο:

$X_A(λ) = det(A-λI) = (1-λ)^2 + 1 = 1 - 2λ + λ^2 + 1 \Rightarrow \\ X_A(λ)=λ^2 - 2λ + 2$

Από το θεώρημα Cayley - Hamilton:

$A^2 - 2A + 2I = 0 \Rightarrow A - 2I + 2A^{-1} = 0 \Rightarrow $ $A^{-1} = -\frac{1}{2}(A-2I) = -\frac{1}{2}A + I$.

Συνεπώς: $Α^{-1} = \begin{equation*} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$ + $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} \end{equation*} =$ $\begin{equation*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$