Η προεπιστημονική περίοδος

Στο βιβλίο «Mathematics in western culture» του Morris Kline (σε μετάφραση Σπύρου Μαρκέτου) διαβάζουμε:

«Aπό τη σύγχρονη σκοπιά τα μαθηματικά των Αιγυπτίων και Βαβυλωνίων, είχαν και άλλο ένα σημαντικό μειονέκτημα: τα συμπεράσματά τους θεμελιώνονταν εμπειρικά. Αξίζει λοιπόν να ρίξουμε μια σύντομη ματιά στη μέθοδο που χρησιμοποιούσαν.

Ας υποθέσουμε ότι ένας γεωργός θέλει να περιφράξει με όσο γίνεται λιγότερα έξοδα ένα ορθογώνιο χωράφι με εμβαδόν 100 τετραγωνικά μέτρα. Όσο μικρότερη είναι η περίμετρός του, τόσο φθηνότερα θα κοστίζει η περίφραξη. Τώρα από όλη τη γή που έχει στη διάθεσή του, μπορεί να ξεχωρίσει 100 τετραγωνικά μέτρα χρησιμοποιώντας διάφορας συνδυασμούς μήκους και πλάτους: 50 μέτρα επί 2 μέτρα, 20 μέτρα επί 5 μέτρα, 8 μέτρα επί 12.5 μέτρα και άλλους. Όμως αυτά τα οορθογώνια, αν και έχουν όλα τους το ίδιο εμβαδόν (100 τ.μ.), δεν έχουν ίδιες περιμέτρους. ΓΙα παράδειγμ, διαστάσεις 50 μέτρων επί 2 μέτρων θέλουν φράχτη 104 μέτρα, όμως διαστάσεις 20 μέτρων επί 5 μέτρων θέλουν μόνο 50 μέτρα και ούτω καθεξής. Δεν είναι δύσκολο να δούμε πώς, όταν οι διαστάσεις διαφέρουν, οι διαφορές στην περίμετρο μπορούν να είναι πολύ σημαντικές.

Τώρα ο γεωργός μας τα έχει βρει σκούρα. Αν ξέρει λίγη αριθμητική, μπορεί να δοκιμάσει διάφορους συνδυασμούς διαστάσεων που δίνουν 100 τετραγωνικά μέτρα και να βρει ποιος συνδυασμός ανάμεσά τους δίνει εμβαδό με τη μικρότερη περίμετρο. Όμως δεν μπορεί να τους δοκιμάσει όλους, είναι άπειροι. Ένας χωρικός προικισμένος με παρατηρητικότητα θα πρόσεχε πως όσο περισσότερο πλησιάζουν μεταξύ τους, το μήκος και το πλάτος, τόσο μικρότερη είναι η περίμετρος που σχηματίζεται. Έτσι θα μπορούσε να υποψιαστεί πως τη μικρότερη περίμετρο απ' όλες την έχει το τετράγωνο με διαστάσεις 10 μέτρα επί 10 μέτρα. Και πάλι, δεν θα μπορούσε να είναι απόλυτα βέβαιος. Όμως όλη αυτή η διαδικασία, δοκιμή, λάθος, νέα δοκιμή, νέο λάθος, τον οδήγησε σε ένα μάλλον σωστό συμπέρασμα, ότι δηλαδή από όλα τα ορθογώνια που έχουν το ίδιο εμβαδόν, εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο είναι το τετράγωνο. Ο γεωργός θα είχε κάθε λόγο να χρησιμοποιήσει τούτο το αναπόδεικτο συμπέρασμα. Ακόμη περισσότερο καθώς αυτό είναι σύμφωνο με την αριθμητικά, αλλά και με την πείρα, θα μπορούσε να παραδοθεί στις επόμενες γενιές σαν βασικό στοιχείο των μαθηματικών. Κι όμως, εξακολουθεί να είναι τελείως ανεπιβεβαίωτο και κανένας μαθητής του Γυμνασίου σήμερα, δεν θα επιτρεπόταν να το «αποδείξει» με αυτή την προσέγγιση. Τo καλύτερο που μπορούμε να πούμε για τους αρχαίους που αναζητούσαν με τέτοιους τρόπους τη μαθηματική γνώση, είναι πως υποκαθιστούσαν την εξυπνάδα με την υπομονή.»

Η μαθηματική επίλυση του προβλήματος

Aν συμβολίσουμε με $x, y$ τις διαστάσεις μήκους και πλάτους αντίστοιχα, τότε εφόσον θέλουμε να καλύψουμε ορθογώνια επίπεδη επιφάνεια με εμβαδόν 100 τετραγωνικών μέτρων, θα πρέπει $xy = 100 \Rightarrow y = \frac{100}{x}$.
Θεωρώ τη συνάρτηση $Π(x) = 2x + \frac{200}{x}$ η οποία απεικονίζει κάθε θετική τιμή της μεταβλητής $x$ στην τιμη της περιμέτρου του ορθογωνίου. Η εν λόγω συνάρτηση είναι προφανώς παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, το $(0,+\infty)$, με $Π'(x) = 2 - \frac{200}{x^2}$.
Eξισώνοντάς την πρώτη παράγωγο με το $0$, βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της, ως πιθανά ακρότατα: $Π'(x) = 0 \Rightarrow 2 = \frac{200}{x^2} \Rightarrow x = \sqrt{100} = 10$. H λύση $-\sqrt{100} = -10$ σαφώς απορρίπτεται επειδή η μεταβλητή $x$ αντιπροσωπεύει διάσταση που είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός.

Για $x \lt 10$ είναι $x^2 \lt 100$, έχω $\frac{1}{x^2} \gt \frac{1}{100}$, συνεπώς $\frac{200}{x^2} \gt 2$ και έτσι $Π'(x) = 2 - \frac{200}{x^2} \lt 0$ που σημαίνει ότι στο διάστημα $(0,10]$ η συνάρτηση $Π$ είναι γνησίως φθίνουσα. Ομοίως αποδεικνύεται ότι στο διάστημα $[10,+\infty)$ η $Π$ είναι γνησίως αύξουσα, επομένως στο σημείο $x=10$ παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο.

Για $x=10$, είναι $y=10$, δηλαδή η περίμετρος ελαχιστοποιείται (επομένως και το κόστος του έργου) όταν η ορθογώνια επιφάνεια με εμβαδόν $100$ τ.μ. είναι τετράγωνο.