Χαρίτος Χρυσοβαλάντης
Μαθηματικός

Ορισμός$.$ Ένα σύνολο $Α \subset \mathbb{R}$ καλείται άνω φραγμένο αν υπάρχει $m \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\forall x\in A$: $x\leq m.$

Oρισμός$.$ Ένας πραγματικός αριθμός $s$ καλείται ελάχιστο άνω φράγμα του $Α$ αν είναι άνω φράγμα του $Α$ και για κάθε άνω φράγμα $m$ του $Α$ ισχύει $s\leq m$. Στη διεθνή βιβλιογραφία, το ελάχιστο άνω φράγμα καλείται supremum και συμβολίζεται με $sup(A)$.

Αξίωμα ελαχίστου άνω φράγματος. Κάθε μη κενό και άνω φραγμένο $Α \subset \mathbb{R}$ διαθέτει ελάχιστο άνω φράγμα.



Αρχιμήδεια ιδιότητα του $\mathbb{R}$. Για κάθε $x,y \in (0,+\infty)$, υπάρχει φυσικός αριθμός $n$ τέτοιος ώστε $nx > y$.
Απόδειξη. Έστω ότι υπάρχουν $x,y\in \mathbb{R}$ με $x,y>0$ τέτοιοι ώστε για κάθε $n$, $nx \leq y$.
Συνεπώς το σύνολο $Α=\{nx: n\in \mathbb{N}\}$ είναι άνω φραγμένο (και προφανώς μη κενό). Από αξίωμα ελαχίστου άνω φράγματος, το $Α$ έχει supremum, έστω $sup(A)$. Είναι $sup(A)-x < sup(A)$ και συνεπώς υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε $sup(A)-x < n_0x \Rightarrow sup(A) < (n_0+1)x \in A$. Καταλήξαμε σε άτοπο.

Θεώρημα. Μεταξύ δυο πραγματικών αριθμών $a,b$ υπάρχει ρητός.
Απόδειξη. Έστω $a \lt b$ τότε $b-a>0$. Επειδή $b-a$ και $1$ είναι δυο θετικοί πραγματικοί, από την αρχιμήδεια ιδιότητα, υπάρχει φυσικός $n$ τέτοιος ώστε $n(b-a) > 1 \Rightarrow nb - na > 1$. Εφόσον η διαφορά $nb - na$ είναι μεγαλύτερη της μονάδος, τότε μεταξύ των, υπάρχει ακέραιος $m$, δηλαδή $na < m < nb \Rightarrow a < \frac{n}{m} < b$, έτσι αποδεικνύεται το ζητούμενο.

Πόρισμα. Μεταξύ δυο πραγματικών αριθμών, υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί.
Aπόδειξη Έστω $x,y\in \mathbb{R}$ και έστω ότι οι ρητοί στο $[x,y]$ είναι πεπερασμένου πλήθους, $q_1,q_2,...,q_n$ με $x \leq q_1 < q_2 <$ ... $< q_n \leq y$.
Oι $q_1,q_2$ είναι ρητοί, άρα πραγματικοί αλλά εξ υποθέσεως δεν υπάρχει ρητός ανάμεσά τους. Άτοπο, από το παραπάνω θεώρημα.